CPM y PERT

Los modelos de redes se pueden usar para ayudar a la planificación de proyectos complejos los que
involucran  muchas actividades. Si la duración de cada actividad se conoce con certeza, se puede usar
el método del camino crítico (CPM) para determinar el tiempo requerido para realizar el proyecto. CPM se
puede usar también para determinar en cuánto se puede atrasar una actividad sin que esto retrase el
término del proyecto. CPM fue desarrollado en los años ´50 por du Pont y Sperry Rand.

Si la duración de las actividades no se conoce con certeza, se puede usar la técnica PERT (Program Evaluation
and Review Technique) para estimar la probabilidad que el proyecto se termine en una fecha determinada.
CPM y PERT han sido exitosamente utilizado en muchas aplicaciones como:

Para aplicar PERT y CPM se requiere de un conjunto de actividades que se deben realizar para completar el proyecto.
El proyecto se considera terminado una vez que todas las actividades hayan finalizado. Para cada actividad hay un
conjunto de actividades denominadas predecesoras que deben haber finalizado antes que la actividad pueda comenzar.
Una red de proyecto se usa para representar la relación de precedencia entre actividades. Las actividades serán
representadas por arcos y los nodos representarán el término de un conjunto de actividades (por esta razón los
nodos se llamarán eventos). Este tipo de red de proyecto se llama una red AOA (actividad dobre arcos).

Dada una lista de actividades y predecesores una AOA llamada también red del proyecto se puede construir
siguiendo las siguientes reglas:

  1. Nodo 1 representa el inicio del proyecto. Un nodo comenzando en el nodo 1 simbolizará una actividad que no tiene predecesores.
  2. Un nodo (llamado nodo final) representará el término del proyecto, el cuál debe ser incluído en el diagrama de red.
  3. Numerar  los nodos en la red tal que el nodo representando el término de una actividad siempre tenga un valor mayor que el nodo representando el comienzo de la actividad (hay muchas posibles enumeraciones que respetan esta regla)
  4. Una actividad sólo puede estar representada una vez en la red.
  5. Dos nodos pueden estar conectados por a lo más un arco.
Para impedir violar las reglas 4 y 5, algunas veces será necesario utilizar actividades artificiales (dummy).

Ejemplos:

1. Widgetco desea introducir un nuevo producto al mercado (producto 3). Una unidad del producto 3 se produce ensamblando una unidad del producto 1 con una unidad del producto 2. Antes que la producción comience ya sea esta del producto 1 ó 2, se debe comprar materia prima y se debe capacitar a los trabjadores. Antes que los productos 1 y 2 sean ensamblados para formar el producto 3, se debe inspeccionar el producto 2. Analizando la siguiente lista de actividades y sus predecesores
construya la malla o diagrama del proyecto:
 
 
Actividad
Predecesores
duración (días)
A = capacitación
   -
6
B = compra materia prima
  -
9
C = producir producto 1
A, B
8
D = producir producto 2
A, B
7
E = test producto 2
D
10
F = ensamble producto 1+2
C, E
12

 

Los conceptos más importantes en CPM para cada evento son:

  1. El tiempo del evento más temprano para el nodo i (ET(i)) es el instante de tiempo más temprano en el cuál el evento correspondiente al nodo i puede ocurrir
  2. El tiempo del evento más tarde para el nodo i (LT(i)) es el instante de tiempo más tarde en el cuál el evento correspondiente al nodo i puede ocurrir sin retrasar el término del proyecto.
Calculando los tiempos más tempranos: Calculando los tiempos más tarde: Camino Crítico:
  En muchas situaciones el administrador del proyecto debe terminar el proyecto en una fecha
que es menor que el largo del camino crítico. Por ejemplo, suponga que Widgetco piensa que para tener exito en su inclusión del producto 3 al mercado éste debe estar disponible a la venta antes que la competencia. Widgetco sabe que el producto de su competidor está planificado para salir a la venta dentro de 26 días (a contar de hoy), por lo cual Widgetco debe introducir al mercado su producto dentro de 25 días. Recordemos que el camino crítico calculado era de 38 días. Widgetco tendrá que gastar recursos adicionales para modificar la fecha de término del proyecto. En tal situación un modelo de programación lineal es una buena alternativa para determinar la distribución de los recursos por actividad que minimice los costos adicionales incurridos.
Suponga que se desea agregar recursos adicionales a una actividad dada. Widgetco puede reducir la duración de cualquier actividad hasta a lo más 5 días. Los costos por día para reducir la duración de una actividad son:
 
A
B
C
D
E
F
10
20
3
30
40
50
 

Plantearlo por Programación Lineal.

PERT: Program Evaluation and Review Technique

CPM supone que la duración de cada actividad es conocida con certeza. Para muchos proyectos, esto es evidentemente no aplicable. El objetivo de PERT es corregir una mala estimación realizada con un CPM "puro", modelando la duración de cada actividad como una variable aleatoria. Para cada actividad PERT requiere que el administrador de proyecto estime las siguientes cantidades:

  1. a = duración de la actividad bajo las condiciones más favorables
  2. b = duración de la actividad bajo las condiciones más desfavorables
  3. m = el valor más probable de la duración de la actividad.
PERT asume que Tij la variable aleatoria de la duración de la actividad que va desde el nodo i al nodo j sigue una distribución Beta. Si Tij es una distribución Beta entonces se sabe que su esperanza es:
E(Tij) = (a + 4m + b) / 6   y que su varianza es
V(Tij) = (1/36)*(b-a)2

PERT requiere además de la suposición que las duraciones de todas las variables son independientes. Luego para cualquier trayectoria en la red la media y la varianza de los tiempos requeridos para terminar las actividades sobre la trayectoria estará dada por la suma de las esperanzas sobre la trayectoria, al igual que la suma de las varianzas.

PERT supone que el camino crítico encontrado por CPM contiene sufientes actividades que nos permiten usar el Teorema del límite central y concluye entonces que:

CP = Suma de los Tij sobre la trayectoria crítica
y CP se distribuye normal

Aplicando la suposición que CP se distribuye normal se pueden responder preguntas como:
¿Cuál es la probabilidad que el proyecto será terminado dentro de 35 días?

Dificultades de PERT
 

  1. La suposición que las duraciones de las actividades son independientes es dificil de justificar
  2. Las duraciones de las actividades pueden no seguir una distribución beta
  3. La suposición que el camino crítico encontrado por CPM será siempre el camino crítico para el proyecto puede no estar justificada.
Una alternativa para el método PERT es usar la simulación de Monte Carlo para determinar la esperanza y la varianza de la trayectoria crítica y la probabilidad que una actividad dada es una actividad relamente crítica.

Ejemplo: Para Widgetco suponga la siguiente tabla de estimación de los tiempos
 

 
Actividad
a
b
m
(1,2)
5
13
9
(1,3)
2
10
6
(3,5)
3
13
8
(3,4)
1
13
7
(4,5)
8
12
10
(5,6)
9
15
12