**************************************************************
Clase 19: Estabilidad
**************************************************************


**Bibliografía de la Clase:**

    * Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Part III: Lecture 14 ``Stability``


Los algoritmos numéricos no proveen soluciones exactas a todos los problemas
numéricos debido a que la mayoría de los problemas son continuos y los 
computadores trabajan de manera discreta. El estudio de la **estabilidad** de
un algoritmo nos permite medir su capacidad de obtener una respuesta correcta
(accuraccy) aunque ésta no sea exacta (precision).

.. topic:: Precisión

	Corresponde a la finura de detalle con que se representa un número o
	medida, es decir a las cifras significativas. Este concepto se
	relaciona con el tamaño de las unidades usadas para hacer una medición,
	mientras más pequeña sea la unidad, mayor precisión.

.. topic:: Exactitud (Accuracy) 
	
	Corresponde a la diferencia entre una medición y el valor real aceptado
	como correcto. Mientas menor sea dicha diferencia, mayor será su
	exactitud o accuracy.


Anteriormente definimos un problema matemático como una función:

.. math::

	f: X \to Y

y un algoritmo como:

.. math::

        \tilde{f}: X \to Y \, .


Exactitud (Accuracy)
####################

Para determinar la aproximación del algoritmo al problema asociado `f` se
definen dos tipos de error:

**Error absoluto**

.. math::

	\| \tilde{f}(x) - f(x) \| 

**Error relativo**

.. math::

        \frac{\| \tilde{f}(x) - f(x) \|}{\| f(x)\|} 


Si `\tilde{f}` es un buen algoritmo se espera que el error relativo sea
pequeño, del orden de `\epsilon` machine. Es decir:

.. math::

        \forall x \in X: \quad \frac{\| \tilde{f}(x) - f(x) \|}{\| f(x)\|} = O(\epsilon_{machine})


Estabilidad
###########

Si `f` es un problema mal condicionado la medición de la exactitud o accuracy
es muy ambiciosa. Una medida menos estricta es la estabilidad que se cumple
cuando:

.. math::

        \forall x \in X \quad \exists \tilde{x} \in X: \quad \frac{\| \tilde{f}(x) - f(\tilde{x}) \|}{\|
	f(\tilde{x})\|} = O(\epsilon_{machine})


donde:

.. math::

	\frac{\| \tilde{x} - x \|}{\| x \|} =  O(\epsilon_{machine}) 

 
Backward Stability
##################

Se dice que un algoritmo `\tilde{f}` es backward stable si es estable y además
cumple que:

.. math::

	\tilde{f}(x) = f(\tilde{x})