Clase 10: Splines¶

Bibliografía de la Clase:

Introduction to Numerical Analysis - J.Stoer, R.Bulirsch. Chapter 2: Interpolation.
Guía profesor Luis Salinas

Splines cúbicos¶

Las funciones splines permiten obtener curvas que tienden a exhibir menos oscilaciones que los polinomios de alto grado.

Si se tiene un conjunto de datos $(x_0,y_0),\dots,(x_n,y_n)$ , la idea de los splines es ajustar un polinomio de grado $k$ en cada intervalo de la partición equiespaciada de $n+1$ datos:

$a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$

Por lo tanto, es posible encontrar $n$ funciones splines $S_j \quad j = 0,\dots,n-1$ que ajusten los intervalos $[x_j,x_{j+1}]$ .

La siguiente figura muestra diferentes funciones splines:

(Source code, png, hires.png, pdf)

En el caso particular de que estas funciones sean cúbicas (i.e $k=3$ ) son conocidas como splines cúbicos.

Splines Cúbicos

Un spline cúbico $S:[a,b] \to \mathbb{R}$ es una función en el intervalo $[a,b]$ que tiene las siguientes propiedades:

Dos veces continuamente diferenciable en el intervalo [a,b]
$S$ coincide en cada subintervalo $[x_j,x_{j+1}], \quad j=0,\dots n-1$ con un polinomio de grado 3 $S_j$ .

Por lo tanto, los splines cúbicos son polinomios cúbicos $S_j$ unidos de manera que sus valores $S_j(x_j)$ y sus dos primeras derivadas coinciden en los puntos de apoyo $x_j, \quad j=0,\dots,n-1$ (ver figura 1).

Figura 1 Funciones splines

Los splines cúbicos $S_j$ y sus respectivas derivadas son de la forma:

(1) $S_j(x) =& a_j +b_j(x-x_j)+c_j(x-x_j)^2+ d_j(x-x_j)^3$

(2) $S_j'(x) =& b_j +2c_j(x-x_j) + 3d_j(x-x_j)^2$

(3) $S_j''(x)=& 2c_j + 6d_j(x-x_j)$

Ya que la data se asume equiespaciada, se definirá además:

(4) $h=x_{j+1}-x_{j}=\frac{x_n-x_0}{n}$

Para poder encontrar el polinomio interpolador $S(x)$ es necesario encontrar todos los coeficientes $a_j,b_j,c_j$ y $d_j$ . Para esto se utilizarán las relaciones que provienen de las propiedades de los splines cúbicos $S_j(x)$ definidos previamente:

1) Interpolación en $x_j$ ¶

$\boxed{ S(x_j) = f(x_j) \quad \forall j=0,\dots,n}$

De la ecuación (1) se tiene que:

(5) $S_j(x_j) = a_j = f(x_j)=y_j$

Por lo tanto los valores de $a_j$ se calculan de manera directa.

2) Continuidad de la segunda derivada¶

$\boxed{S''_j(x_{j})=S''_{j-1}(x_{j}) \quad \forall j=1,\dots,n-1}$

Usando las ecuaciones (3) y (4) se tiene que:

$S''_j(x_{j}) &= S''_{j-1}(x_{j}) \\ 2 c_j &= 2 c_{j-1} + 6d_{j-1}(x_j-x_{j-1}) \\ c_j &= c_{j-1} + d_{j-1} 3h$

(6) $d_{j-1} =& \frac{c_j - c_{j-1}}{3h}$

3) Continuidad de $S$ en $x_j$ ¶

$\boxed{S_j(x_{j})=S_{j-1}(x_{j}) \quad \forall j=1,\dots,n-1}$

Usando las ecuaciones (1) y (4) se tiene que:

$S_j(x_{j}) &= S_{j-1}(x_{j}) \\ a_j &= a_{j-1} +b_{j-1}(x_j-x_{j-1})+c_{j-1}(x_j-x_{j-1})^2+ d_{j-1}(x_j-x_{j-1})^3\\ a_j &= a_{j-1} +b_{j-1} h +c_{j-1}h^2+ d_{j-1}h^3 \\ b_{j-1} &= \frac{1}{h}(a_j-a_{j-1}) - c_{j-1}h - d_{j-1}h^2$

Ahora usando la ecuación (6) para $d_{j-1}$ :

$b_{j-1} = \frac{1}{h}(a_j-a_{j-1})-c_{j-1}h -\frac{h}{3}(c_j -c_{j-1})$

(7) $b_{j-1} = \frac{1}{h}(a_j-a_{j-1})-\frac{h}{3}(c_j+2c_{j-1})$

4) Continuidad de la primera derivada¶

$\boxed{S'_j(x_{j})=S'_{j-1}(x_{j}) \quad \forall j=1,\dots,n-1}$

Usando las ecuaciones (2) y (4):

$S'_j(x_{j}) &= S'_{j-1}(x_{j}) \\ b_j &= b_{j-1} +2c_{j-1}(x_j-x_{j-1}) + 3d_{j-1}(x_j-x_{j-1})^2\\ b_j &= b_{j-1} +2c_{j-1}h + 3d_{j-1}h^2$

Ahora usando la ecuación (6) para $d_{j-1}$ :

$b_j &= b_{j-1} +2c_{j-1}h + h(c_j - c_{j-1}) \\ b_j &= b_{j-1} + h(c_j + c_{j-1})$

Si reemplazamos la ecuación (7) en esta expresión se obtiene el siguiente sistema:

$b_j &= b_{j-1} + h(c_j + c_{j-1}) \\ \frac{1}{h}(a_{j+1}-a_j)-\frac{h}{3}(c_{j+1}+2 c_j) &= \frac{1}{h}(a_j-a_{j-1})-\frac{h}{3}(c_j+2c_{j-1}) + h(c_j +c_{j-1}) \\ a_{j+1}-a_j - \frac{h^2}{3}(c_{j+1}+2 c_j) &= a_j-a_{j-1}-\frac{h^2}{3}(c_j+2c_{j-1}) + h^2 (c_j + c_{j-1})$

(8) $c_{j-1}+4c_j+c_{j+1} = \frac{3}{h^2} (a_{j-1} - 2 a_j + a_{j+1}) \quad \forall j=1,\dots,n-1$

5) Condiciones de borde¶

Debido a que el sistema presentado en la ecuación (8) sólo tiene $n-1$ ecuaciones, se necesita definir condiciones de borde para los casos $j=0$ y $j=n$ . Se tienen dos tipos de condiciones de borde:

Frontera libre o natural

$\boxed{S''_0(x_0)=S''_n(x_n)=0}$

Si aplicamos la ecuación (3) se tiene que:

$S''_0(x_0) = c_0 = 0 \\ S''_n(x_n) = c_n = 0$

Frontera fija

$\boxed{ S'_0(x_0) = f'(x_0) \quad \text{y} \quad S'_n(x_n) = f'(x_n) }$

En general, las condiciones de frontera fija son más precisas que las de frontera libre, pero necesitan información acerca de las derivadas en los bordes.

Ejercicio propuesto

Demuestre que para la condición de frontera fija se cumple que $b_0 = f'(x_0)$ y que:

$2c_n + c_{n-1} = \frac{3}{h} f'(x_n) - \frac{3}{h^2}(a_n-a_{n-1})$

Búsqueda de coeficientes¶

Luego de obtener las expresiones dadas las restricciones de las funciones splines, lo que queda es ir obteniendo los coeficientes de los polinomios.

De la ecuación (8) se obtienen $n-1$ ecuaciones lineales que pueden expresarse matricialmente como:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ c_4 \\ \vdots \\ c_{n-2} \\ c_{n-1} \\ c_{n} \end{bmatrix} = \frac{3}{h^2} \begin{bmatrix} 0 \\ y_0-2y_1+y_2 \\ y_1-2y_2+y_3 \\ y_2-2y_3+y_4 \\ y_3-2y_4+y_5 \\ \vdots \\ y_{n-3}-2y_{n-2}+y_{n-1} \\ y_{n-2}-2y_{n-1}+y_{n} \\ 0 \end{bmatrix}$

De este sistema de ecuaciones se obtienen los coeficientes $c_j$ que permiten obtener los coficientes $b_j$ (ecuación (7)) y los $d_j$ (ecuación (6)). Recordar que los $a_j$ están determinados por los valores $f(x_j)=y_j$ .

Ejercicio en clases

Usando fronter libre determine el spline cúbico $S$ que interpola la data $f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2$

Ejercicio propuesto

Un spline cúbico $S$ definido en el intervalor [0,2] se define como:

$S(x) = \left\{ \begin{array}{ll} S_0(x) = 1 +2x -x^3 & \mathrm{si\ } 0 \leq x \leq 1\\ S_1(x) = 2 + b(x-1) + c(x-1)^2 + d(x-1)^3 )& \mathrm{si\ } 1 \leq x \leq 2\\ \end{array} \right.$

Determine los coeficientes $b$ , $c$ y $d$ considerando condiciones de frontera libre.

Clase 10: Splines¶