Clase 11: Integración Numérica¶

Bibliografía de la Clase:

Numerical Analysis - Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Capítulo 3 y Capítulo 4.

Polinomios de Lagrange¶

Idea. El problema de determinar un polinomio de grado uno que pase por los puntos $(x_0,y_0)$ y $(x_1, y_1)$ , es lo mismo que aproximar una función $f$ , en la cual $f(x_0)=y_0$ y $f(x_1) =y_1$ .

Primero se definen las funciones:

$L_0(x) = \frac{x-x_1}{x_0 - x_1} \ \ y \ \ L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1 - x_0}$

y se define el polinomio:

$P(x) = L_0 (x) f(x_0) + L_1(x) f(x_1)$

Además:

$L_0(x_0) =1, \ \ L_0(x_1)=0, \ \ L_1(x_0)=0, \ \ L_1(x_1)=1$

y se obtiene:

$P(x_0)= 1 \times f(x_0) + 0 \times f(x_1) = f(x_0) = y_0 P(x_1) = 0 \times f(x_0) + 1 \times f (x_1) =f(x_1) = y_1$

Por lo tanto $P$ es una función lineal única que pasa por los puntos $(x_0,y_0)$ y $(x_1,y_1)$ .

La generalización de la interpolación lineal, considera la construcción de un polinomio de grado a lo más $n$ que pasa por los $n+1$ puntos:

$(x_0,f(x_0)), (x_1,f(x_1)), \ldots , (x_n,f(x_n)).$

Teorema: Polinomio Interpolador de Lagrange

Si $x_0, x_1, \ldots , x_n$ son $n+1$ números distintos y $f$ es una función cuyos valores están dados para tales puntos, entonces el polinomio $P(x)$ único y de grado a lo más $n$ existe y:

$f(x_k) = P(x_k), \ \ \forall k=0,1, \ldots , n. \text{y el polinomio está dado por:} P(x) = f(x_0)L_0(x) + \ldots + f(x_n)L_k(x) = \sum_{k=0}^{n}f(x_k)L_k(x), \ \text{y} L_k(x) = \prod\limits_{i=0,i\neq k}^{n} \frac{x-x_i}{x_k - x_i}, \ \ \forall k = 0,1, \ldots , n$

Teorema: Polinomio Interpolador de Lagrange y Error:

Si $x_0, x_1, \ldots , x_n$ son $n+1$ números distintos en el intervalo $[a,b]$ y $f \in C^{n+1}[a,b]$ , entonces, $\forall x \in [a,b]$ , existe un número $\xi (x) \in [a,b]$ tal que:

$f(x) = P(x) + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(\xi (x))}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1)\ldots (x-x_n)}_{\text{Error}} P(x) \text{ corresponde al polinomio interpolador de Lagrange.}$

(Revisar clase Error en la interpolación polinomial )

Nota

El uso de esta fórmula del error se limita a las funciones cuyas derivadas tienen cotas conocidas.

Ejemplo¶

Usando los números (o nodos) $x_0=2, x_1=2.5$ , y $x_2=4$ encontrar el polinomio interpolador de segundo orden para $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Integración Numérica¶

En algunas aplicaciones es necesario evaluar una integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita o fácil de obtener. La cuadratura numérica es el método más simple para aproximar $\int_a^b f(x) dx$ y consiste en usar una sumatoria para aproximar la integral:

$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i)$

Los métodos de cuadratura numérica utilizados se basan en la integración de polinomios interpoladores, para lo cual, se realizan los siguientes pasos:

Seleccionar un conjunto de nodos $\{x_0 , x_1 , \ldots , x_{n-1}, x_n\}$ sobre el intervalo $[a,b]$
Integrar un polinomio interpolador sobre el mismo intervalo, por ejemplo un polinomio integrador de Lagrange:

$P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x)$

Calcular su término de error de truncamiento en $[a,b]$ para obtener

$\int_a^b f(x) dx = \underbrace{\int_a^b \sum_{i=0}^{n} f(x_i) L_i(x) dx}_{\text{Pol. Interpolador}} + \underbrace{\int_a^b \prod_{i=0}^n (x - x_i) \frac{f^{(n+1)} (\xi) (x) }{(n+1)!}dx}_{\text{Error}} = \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i) + \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b \prod_{i=0}^n (x - x_i) f^{(n+1)} (\xi (x)) dx$

donde $(\xi (x)) \in [a,b]$ para cada $x$ , y:

$a_i = \int_a^b L_i (x) dx \ \ \ \forall i=1, \ldots , n$

Por lo tanto, la fórmula de cuadratura es:

$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i)$

con un error

$E(f) = \frac{1}{(n+1)!} \int_a^b \prod_{i=0}^n (x - x_i) f^{(n+1)} (\xi (x)) dx$

La metodología explicada, para Polinomios de Lagrange de de primer y segundo orden, con nodos igualmente espaciados da origen a la Regla del Trapecio y Regla de Simpson.

Regla del Trapecio¶

Es llamada la regla del trapecio porque cuando la función $f$ es una función con valores positivos, $\int_a^b f(x) dx$ es aproximadamente el área del trapecio, como lo muestra la sgte. figura:

Fig. 1. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule.

Si se utiliza el polinomio de Lagrange de grado $n=1$ :

$P_1(x) = \sum_{k=0}^{1}f(x_k)L_k(x)$

Se obtiene la regla del trapecio, para $a=x_0, b=x_1, h=b-a$ :

$\begin{array}{lll} \int_a^b f(x) d(x) &= & \int_{x_0}^{x_1} P_1 (x) dx + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx \\ & & \\ & = & \frac{h}{2} (f(x_0) + f(x_1)) - \frac{h^3}{12}f''(\xi) \\ \end{array}$

Nota

¿Para qué tipo de funciones se puede saber inmediatamente que la integración es exacta?

Desarrollo¶

$P_1(x) = \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} f(x_1)$

con $x_0=a, x_1=b$ , y $h=b-a$ se obtiene:

$\begin{array}{lll} \int_a^b f(x)dx & = & \int_{x_0}^{x_1} P_1 (x) dx + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx \\ & & \\ & = &\int_{x_0}^{x_1} \left [ \frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} f(x_0) + \frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} f(x_1) \right ] + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx \\ & & \\ & = & \left [ \frac{(x-x_1)^2}{2(x_0-x_1)} f(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2(x_1-x_0)} f(x_1) \right ]_{x_0}^{x_1} + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx\\ & & \\ & = & \left [ \frac{(x_1-x_0)^2}{2(x_1-x_0)} f(x_1) - \frac{(x_0-x_1)^2}{2(x_0-x_1)} f(x_0) \right ]_{x_0}^{x_1} + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx\\ & & \\ & = & \frac{h}{2} (f(x_0) + f(x_1)) + \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx\\ \end{array}$

Se calcula el error de integración, aplicando el teorema del valor medio para algún $\xi \in [a,b]$ :

$\begin{array}{lll} \int_{x_0}^{x_1} E_1(f)dx &= & \frac{1}{2}\int_{x_0}^{x_1} (x-x_0) (x-x_1)f''(\xi)dx\\ & & \\ & = & \frac{f''(\xi)}{2} \int_{x_0}^{x_1} [x^2 - (x_0 + x_1)x + x_0 x_1]dx \\ & & \\ &= & \frac{f''(\xi)}{2} \left [ \frac{x^3}{3} - (x_0 + x_1)\frac{x^2}{2} + (x_0 x_1)x \right]_{x_0}^{x_1}\\ & & \\ &= & \frac{f''(\xi)}{12} (x^3_1 - 3 x_0 x_1^2 + 3 x_0^2 x_1 - x_0^3)\\ & & \\ & = & \frac{f''(\xi)}{12} (x_1 - x_0)^3 \\ & & \\ & = & - \frac{h^3}{12}f''(\xi) \\ \end{array}$

Ejercicio¶

Usando la regla del trapecio, calcular la integral $\int\limits_{0}^{1} e^{-x^2}dx$ , considerando que su valor exacto con ocho cifras decimales es 0,74682413.

Regla de Simpson¶

La regla de Simpson aparece al integrar sobre el intervalo $[a,b]$ utilizando el segundo polinomio de Lagrange, con nodos: $x_0=a, x_2=b, x_1=a+h$ , y $h=\frac{(b-a)}{2}$ :

Fig. 2. Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Simpson’s_rule

y corresponde a:

$\int_{x_0}^{x_2} f(x) dx = \frac{h}{3} [f(x_0) + 4 f(x_1) +f (x_2)] - \frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi)$

Nota

¿Para qué tipo de funciones se puede saber inmediatamente que la integración es exacta?

Para llegar a la regla de Simpson:

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{x_0}^{x_2} P_2(x) dx + \int_{x_0}^{x_2}\frac{1}{6} (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)f'''(\xi (x))dx$

Pero esta expresión, solamente permite obtener un error de integración $\mathcal{O}(h^4)$ . Aproximando la función $f$ mediante un polinomio de Taylor de tercer orden alrededor de $x_1$ , se obtiene una mejor precisión.

Recordar: Teorema de Taylor.

Sea $k \geq 1$ un entero y se la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $k$ veces diferenciable en el punto $a \in \mathbb{R}$ . Entonces existe una función $h_k: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

$f(x)= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k \lim_{x \to a} h_k(x)=0$

Ejercicio¶

Usando la regla de Simpson, calcular la integral $\int\limits_{0}^{1} e^{-x^2}dx$ , considerando que su valor exacto con ocho cifras decimales es 0,74682413.

Nota

La regla del trapecio y la regla de Simpson son ejemplos de una clase de métodos conocida como fórmulas de Newton - Cotes. Existen dos tipos de fórmulas Newton - Cotes: abiertas y cerradas. La fórmula cerrada utiliza puntos equiespaciados, $x_i=x_0 + ih, \ i=1, \ldots , n$ , y se denomina cerrada porque incluye los límites del intervalo $[a,b]$ como puntos de apoyo.

Ejercicios Propuestos¶

Demostrar que el polinomio interpolador de Lagrange es único.
Obtener la Regla del Trapecio, utilizando el polinomio de Taylor de tercer orden. Hint: Ver Capítulo 4.3 Elements of Numerical Integration, Numerical Analysis de Burden.

Clase 11: Integración Numérica¶