Clase 9: L’Hermite y Cotas para el error¶

Bibliografía de la Clase:

Guía profesor Luis Salinas
Guía profesor Roberto León
Introduction to Numerical Analysis - J.Stoer, R.Bulirsch
Análisis Numérico - Richard L. Burden - J. Douglas Faires

L’Hermite¶

El método visto previamante (Diferencias divididas de newton) resulta de manera óptima para la búsqueda de un polinomio interpolador, para una cierta data $(x_i,y_i)$ . Pero no siempre la data está compuesta solo de puntos de apoyo, es decir, la data puede ser enriquecida con más información, que el método de Newton no puede aprovechar.

Para la interpolación de L’Hermite se considera con información que ayudará a obtener mayor precisión en la interpolación: data $(x_i,f(x_i))$ y además datos sobre las derivadas $f'(x_i)$ . En este caso, los grados de los polinomios cambian: antes eran $n+1$ datos interpolados por un polinomio de grado $n$ , en este caso el grado del polinomio en base a la cantidad de datos de puntos de apoyo y derivadas.

Supongamos que se tiene la siguiente data: $(x_0, f(x_0))$ , $(x_0, f'(x_0))$ , $(x_1, f(x_1))$ , $(x_1, f'(x_1))$ , $(x_1, f''(x_1))$ . Si se cuenta la cantidad de datos, se tienen: 5 datos, lo cual implica que deberá construirse un polinomio de grado 4. El polinomio tendrá por ende 5 coeficientes $c_i$ y tendra la siguiente forma:

$P(x) = c_0 + c_1(x-x_0)+ c_2(x-x_0)^2 + c_3(x-x_0)^2(x-x_1) + c_4(x-x_0)^2(x-x_1)^2$

La razón de que el polinomio tenga esa forma, es la misma que la realizada para la interpolación mediante diferencias dividades ( $x_0$ debe ser raíz del $q_k$ ), pero el factor $(x-x_i)$ se repite con relación a la cantidad derivadas, por ejemplo para $x_0$ se tiene una derivada, por lo tanto se repite 1 veces, y su razón es porque si se deriva este polinomio, y se evalúa en $x_0$ da el coeficiente $c_1$ :

$P(x) = c_0 + c_1(x-x_0)+ c_2(x-x_0)^2 + c_3(x-x_0)^2(x-x_1) + c_4(x-x_0)^2(x-x_1)^2 P'(x) = c_1 + 2c_2(x-x_0) + c_3( 2(x-x_0)(x-x_1) + (x-x_0)^2) + c_4( 2(x-x_0)(x-x_1)^2 + 2(x-x_1)(x-x_0)^2) P'(x_0) = c_1$

Proceso similar ocurre para $x_1$ . Pero en la forma de Newton no se considera el último factor, recordar que para $k$ puntos solo se llegaba hasta el $(x-x_{k-1})$ . La idea de esta expresión es asociar cada $c_i$ a la data de la ordenada o derivada.

Pregunta ¿Se puede aplicar la técnica de diferencias divididas?.

Respuesta, la técnica tal cual no puede aplicarse, debido a que en el cuadro esquemático se hacía la diferencia entre $f_i$ y $x_i$ , y en este caso se tiene un $x_i$ asociado a más de un par, por lo que inminentemente se realizarán denominadores $0$ . Por lo que es necesario modificar la técnica de diferencias divididas.

El caso problemático entonces es $f[x_i, x_i, \ldots, x_i]$ , si para esa abscisa $x_i$ se repite $k$ veces entonces:

$f[x_i, x_i, \ldots, x_i] = \frac{f_i^k}{k!}$

y el nuevo cuadro esquemático queda de la siguiente forma:

Figura 1. Diferencias divididas L’Hermite

Ejercicio en Clase 9.1¶

Encuentre un polinomio interpolador de la siguiente data:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline i & x & y & y' & y" \\ \hline 0 & 0 & -1 & -2 & \\ 1 & 1 & 0 & 10 & 40 \\ \hline \end{array}$

Desarrollo¶

El cuadro esquemático queda de la siguiente forma:

Y el polinomio correspondiente es:

$P(x) = -1 - 2(x-0) + 3(x-0)^2 + 6(x-0)^2(x-1) + 5(x-0)^2(x-1)^2 P(x) = -1 -2x +3x^2 + 6x^2(x-1) + 5x^2(x-1)^2$

Error en la interpolación polinomial¶

Nuevamente se considera una función $f(x)$ de la cual se tiene una data $(x_i, y_i), \quad 0 \leq i \leq n$ , la cual se interpola con un polinomio que llamaremos $P(X)$ . Es conocido que el polinomio pasa exactamente por lo puntos de la data, es decir:

$P(x_i) = f(x_i) = y_i \quad 0 \leq i \leq n f(x_i) - P(x_i) = 0$

Lo que se busca estimar para este caso, es la diferencia entre $f(x) - P(x)$ para los $x \neq x_i$ .

Teorema

Si la función $f(x)$ tiene una (n+1) derivada, es decir $f^{(n+1)}(x)$ , entonces para todos los $\bar{x} \neq x_i$ existe un número $\xi$ perteneciente al intervalo más pequeño $I[x_0, \ldots, x_n, \bar{x}]$ que contiene $bar{x}$ y los puntos de soporte $x_i$ tal que:

$f(\bar{x}) - P(\bar{x}) = \frac{w(\bar{x})f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$

donde:

$w(x) = (x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_n).$

Demostración¶

Suponga entonces que el polinomio $P(x)$ corresponde a la interpolación polinomial de la función $f(x)$ en la data $(x_i, y_i), \quad 0 \leq i \leq n$ , además suponga que $\bar{x} \neq x_i$ . Lo que se busca entonces es encontrar una constante $K$ tal que:

$F(x) = f(x) - P(x) - Kw(x).$

Para los $\bar{x}$ se cumplirá que:

$F(\bar{x}) = f(\bar{x}) - P(\bar{x}) - Kw(\bar{x}) = 0.$

Ahora fijándose en las raíces del polinomio $F(x)$ , se tienen las raices $x_i, \quad 0 \leq i \leq n$ y además la $\bar{x}$ , en total $n+2$ raíces. Recordar que si un polinomio tiene $(n+2)$ raíces, entonces su derivada, tendrá al menos $(n+1)$ raíces. Además $P^{(n+1)}(x) = 0$ , ya que $P(x)$ tiene grado $n$ . Entonces:

$F^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - K(n+1)! = 0 K = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}$

Ejercicio en Clase 9.2¶

Si $f(x) = sin(x)$ y se tiene la data $x_i = \frac{\pi i}{10}$ para $i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.$ Encuentre una cota para el error.

Desarrollo¶

$f^{(1)}= cos(x) f^{(2)}= -sin(x) f^{(3)}= -cos(x) f^{(4)}= sin(x) f^{(5)}= cos(x) f^{(6)}= -sin(x) sin(x) - P(x) = -\frac{-sin(\xi)w(x)}{720} |sin(x) - P(x)| \leq -\frac{-sin(\xi)w(x)}{720}$

Clase 9: L’Hermite y Cotas para el error¶