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Bibliografía de la Clase

  • Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 1: Lecture 7 QR Factorization
  • Introduction to Linear Algebra. Gilbert Strang. Chapter 4, Sec. 4.4 Orthogonal Bases and Gram-Schmidt
  • Guía profesor Luis Salinas

Existencia y Unicidad

Teorema Existencia:

Toda matriz A \in M(m\times n, \mathbb{C}) con m\geq n tiene factorización QR completa, por lo tanto también tiene factorización QR reducida.

Demostración

  1. A full rank:
  • Aplicar Gram-Schmidt y generar \hat{R} y \hat{Q}.
  • Esto puede fallar si en algún paso v_{j}=0 \rightarrow no se puede normalizar para producir q_j
  • Si v_{j}=0 \Rightarrow a_j \in \langle q_1,\ldots , q_{j-1} \rangle = \langle a_1,\ldots , a_{j-1} \rangle y esto significa que A no tiene full rank, lo que ¡es una contradicción!.
  1. El caso en que A no tiene full rank.
  • En algún momento se tiene v_{j}=0, y en ese momento se toma cualquier
  • q_{j} \perp \langle q_1 \ldots q_{j-1} \rangle con ||q_j||_2=1 y luego se
  • continúa el proceso de Gram-Schmidt.

Teorema Unicidad

Toda matriz A \in M(m\times n, \mathbb{C}) con m>n de full rank tiene una factorización única A=\hat{Q}\hat{R} con r_{jj} > 0.

Ejercicio Propuesto: QR Aplicado a Funciones Continuas

Los vectores se convierten en funciones continuas:

  1. Del espacio \mathbb{C}^m pasamos al espacio L^{2}[-1,1] (¡por ejemplo!) con producto interno.
  2. Sea A la matriz cuyas columnas son los monomios x^{j}:

(f,g):= \int_{-1}^{1}\bar{f}(x)g(x)dx, \ \ \ f,g \in L^{2}[-1,1] \left[ \begin{array}{c|c|c|c} \, & \, & \, & \, \\ \, & \, & \, & \, \\ 1 & x^{1} & \cdots & x^{n-1} \\ \, & \, & \, & \, \\ \, & \, & \, & \, \end{array} \right]

  1. La factorización QR toma la forma:

A=QR= \left[ \begin{array}{c|c|c|c} \, & \, & \, & \, \\ \, & \, & \, & \, \\ q_0(x) & q_1(x) & \cdots & q_{n-1}(x) \\ \, & \, & \, & \, \\ \, & \, & \, & \, \end{array} \right] \begin{bmatrix} r_{0,0} & r_{0,1} & \ldots & r_{0,n-1} \\ \, & r_{1,1} & \, & \, \\ \, & \, & \ddots & \, \\ \, & \, & \, & r_{n-1,n-1} \end{bmatrix}

donde:

r_{ij} \in \mathbb{C} \int_{-1}^{1} \bar{q_{i}}(x)q_{j}(x)dx = \delta_{i,j}=\begin{cases} 1, & \mbox{si } i=j \\ 0, & \mbox{si } i \neq j \end{cases}

Para obtener q_{0}:

a_{1} = x^{0}=1=q_{0}(x)r_{0,0} ||1|| = ||q_{0}(x) r_{0,0}|| \left ( \int_{-1}^{1}1 dx \right)^{1/2} = 1 | r_{0,0}| ( x /_{-1}^{1})^{1/2}=|r_{0,0}| \sqrt{2}=r_{0,0}

Tarea: Obtener q_{0}(x) y q_{1}(x).

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