Clase 12: Proyectores¶

Bibliografía de la Clase:

Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 2: Lecture 6 Projectors
Introduction to Linear Algebra. Gilbert Strang. Chapter 4 Projections

Proyección ortogonal de vectores¶

La proyección de un vector en un espacio vectorial puede ser vista como la sombra del vector en el espacio. Cuando proyectamos un vector en el espacio generado por otro vector (una recta) se puede ver como la siguiente imagen:

donde se proyecta el vector $b$ ortogonalmente en el espacio generado por el vector $a$ generando el vector $p$ .

La matriz que permite encontrar $p$ se le denomina matriz de proyección $P$ , por lo tanto se cumple que:

$p = P b = x a \\ P = \frac{a a^T}{a^T a}$

donde $x \in \mathbb{R}$ .

Demostración

Dado que $a \perp (b-p)$ se tiene que:

$a^T (b-p) = 0 \\ a^T (b-x a) = 0 \\ a^T b- a^T x a = 0 \\ x = \frac{a^T b}{a^T a}$

lo que nos permite expresar $p$ como:

$p = ax = a \frac{a^T b}{a^T a} \\ p = \frac{a a^T}{a^T a} b = P b \\ P = \frac{a a^T}{a^T a}$

Proyección ortogonal en un plano¶

En la siguiente imagen se muestra la proyección de un vector en un plano:

Análogamente, la matriz de proyección en un plano, o en general en un espacio vectorial generado por las columnas de una matriz $A \in Mat(m,n)$ es:

$P = A (A^T A)^{-1} A^T$

Demostración

Sean $a_1,a_2$ vectores bases del plano mostrado en la figura y la matriz:

$A=\left[ \begin{array}{c|c} \, & \, \\ a_1 & a_2 \\ \, & \, \end{array} \right]`$

donde el vector $p$ vive en el plano ( $\in Col(A)$ ), por lo tanto puede ser expresado como $p=Ax$ para algún $x \in \mathbb{R}^n$ (en este caso $n=2$ ). Se observa que el vector $(b-p) \perp <a_1,a_2>$ y se tiene lo siguiente:

$A^T (b-p) = 0 \\ A^T b = A^T p \\ A^T b = A^T A x \\ x = (A^T A)^{-1} A^T b \\ p = A x = A (A^T A)^{-1} A^T b \\ P = A (A^T A)^{-1} A^T$

Nota

Proyectores ortogonales no son matrices ortogonales.

Propiedades

Un proyector es una matriz cuadrada $P$ que satisface $P^2=P$ . Adicionalmente, los proyectores ortogonales cumplen que $P^* = P$ .

Proyectores complementarios¶

Si $v \in Col(P)$ podemos reescribir $v=Px$ para algún $x$ . La proyección de $v$ sería:

$P v = P P x = P x = v$

En este caso se tiene que:

$v - Pv = (I-P)v=0$

es decir $I-P$ proyecta el $Null(P)$ . Se dice que $I-P$ es el proyector complementario de $P$ .

Por otro lado si $v \notin Col(P)$ significa que $(v-p) \perp Col(P)$ , por lo tanto:

$P (v-p) = Pv - PPv = 0$

es decir que $(v-p) \in Null(P)$ .

Para todo proyector se tiene:

Espacios

$Col(P) = Null(I-P)$

$Col(I-P) = Null(P)$

Si definimos $S_1=Col(P)$ y $S_2=Null(P)$ se dice que $P$ proyecta sobre $S_1$ a lo largo de $S_2$ .

SVD de un proyector¶

Sea ${q_1,\dots,q_n}$ una base para $S_1$ y ${q_{n+1},\dots,q_m}$ una base para $S_2$ el proyector puede escribirse como:

$P = Q \Sigma Q^* \\ P = \hat{Q} \hat{Q}^*$

Ejercicio propuesto¶

Demostrar que $P = \hat{Q} \hat{Q}^*$ . Ayuda: $P q_j = q_j \; \forall j=1:n$ .

Proyectores oblicuos¶

Considere las bases $b_1=[2 \; 1]^T$ y $b_2=[3 \; 7]^T$ . Determinar el proyector sobre el espacio generado por $b_1$ a lo largo del espacio generado por $b_2$ .

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