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Clase 3: Transformaciones lineales y subespacios fundamentales

Bibliografía de la Clase:

  • Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 1: Lecture 1 Matrix-Vector Multiplication
  • Introduction to Linear Algebra. Gilbert Strang. Chapter 3 Vectors Spaces and Subspaces
  • Guía profesor Luis Salinas

Operadores Lineales y Matrices

Sean E y F espacios vectoriales sobre un cuerpo K, de dimensiones n \in \mathbb{N} y m \in \mathbb{N} respectivamente. Sean B_E=\big\{e_1,\dots,e_n\big\} y B_F=\big\{f_1,\dots,f_m\big\} bases de E y F, respectivamente. Entonces, los vectores u\in E y v\in F se escriben de manera única en términos de las respectivas bases. Utilizaremos la siguiente notación estándar:

u = u_1 e_1 + \dots + u_n e_n = \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}_{B_E} \equiv \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}\,, \quad v = v_1 f_1 + \dots + v_m f_m = \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{bmatrix}_{B_F} \equiv \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_m \end{bmatrix}\,.

Se dice entonces que los u_i y los v_j son las coordenadas de los vectores u y v relativas a las bases B_E y B_F, respectivamente.

Representación matricial de una transformación lineal

Sea T:E\to F una transformación u operador lineal. Entonces se tiene:

\begin{array}{rl} T(u)&= T(u_1 e_1 + \dots + u_n e_n) \\ &= u_1 T(e_1) + \dots + u_n T(e_n) \\ &= u_1 \big( a_{1,1}f_1+\dots+a_{m,1}f_m\big) + \dots + u_n \big( a_{1,n}f_1+\dots+a_{m,n}f_m\big) \\ &= \big( a_{1,1}u_1+\dots+a_{1,n}u_n \big) f_1 + \dots + \big( a_{m,1}u_1+\dots+a_{m,n}u_n \big) f_m \end{array}.

En particular se tiene:

T(e_j) = a_{1,j} f_1+\dots+a_{m,j}f_m\,,\qquad j=1:n\,.

La expresión anterior puede escribirse de la siguiente forma matricial:

T:\ u \equiv \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \longrightarrow \underset{=:A}{\underbrace{ \begin{bmatrix} a_{1,1} & \dots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \dots & a_{m,n} \end{bmatrix}}} \begin{bmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \equiv v\in F\qquad\forall u\in E\,.

La matriz A=\big[ a_{ij}\big]_{m\times n} se denomina matriz de la transformación lineal T relativa a las bases B_E y B_F. Nótese que los coeficientes a_{ij}, i=1:m corresponden a los coeficientes de la j-‘esima columna de A.

De manera más compacta se acostumbra a escribir:

\begin{array}{rll} T: E & \to & F \\ u & \mapsto & v=A.u \end{array}

Ejercicio:

Dado los vectores base del espacio vectorial V: v_1=(3,7) y v_2=(2,5) y los vectores base del espacio vectorial W: w_1=(1,0) y w_2=(0,1) encuentre la matriz de la transformación lineal T:V \to W y P:W \to V.

Espacios vectoriales

Ya sabemos que los espacios vectoriales deben cumplir con las siguientes condiciones:

  1. Si u, v \in W \Rightarrow \alpha u + \beta v \in W \; \forall \alpha, \beta \in N
  2. \overrightarrow{0} \in W
  3. \alpha u \in W

Subespacio vectorial

Un subespacio de un espacio vectorial es el espacio vectorial generado por un conjunto W de vectores, donde W sea un subconjunto de los vectores que generan el espacio vectorial V. El subespacio, por lo tanto, debe cumplir con todas las propiedades de los espacios vectoriales.

Ejemplo: Dos vectores en \mathbb{R}^3 generan un plano en \mathbb{R}^3. El plano constituye un subespacio vectorial de R^3.

Rank

Se define como el rank(A) como la dimensión de su espacio de columnas. Equivalentemente se define como el número de vectores columna independientes. Una forma de determinar el rank(A) es calculando el número de pivotes que resultan del método de Eliminación de Gauss-Jordan.

Una matriz A \in Mat(m,n) es full rank si rank(A)=min(m,n).

Ejercicio:

Determine el rank de la siguiente matriz:

\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 6 & 8 \end{bmatrix}

Nota

Una matriz cuadrara se dice no singular o invertible si es full rank.

Los cuatro subespacios fundamentales

A partir de la matriz A es posible distinguir cuatro subespacios fundamentales:

Los cuatro subespacios fundamentales

Los cuatro subespacios fundamentales son los siguientes:

1) Espacio de columnas

A todas las posibles combinaciones lineales de las columnas de A se le denomina el espacio de columnas de A, conocido también como el Col(A) o Range(A).

Sea A \in Mat(m,n). Se sabe que Ax representa una combinación lineal de las columnas de A. Por lo tanto, cualquier vector y en el espacio generado por las columnas de A puede escribirse como:

y=\sum_{j=1}^n x_j a_j

Es decir,

y = x_1 \begin{bmatrix} \, \\ a_1 \\ \, \end{bmatrix} + \ldots + x_n \begin{bmatrix} \, \\ a_n \\ \, \end{bmatrix}

Ejercicio Describir el espacio de columnas para las siguientes matrices:

A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

2) Espacio Nulo

Espacio generado por todas las soluciones x de Ax=0. A este espacio se conoce como Nullspace N(A).

Para algunas matrices, la única solución para resolver Ax=0 es x=0. En este caso en N(A) es el vector nulo.

3) Espacio de filas

Espacio generado por todas las posibles combinaciones de las filas de A, conocido también como Row(A).

El espacio de filas es equivalente a encontrar el Col(A^*).

4) Espacio Nulo izquierdo

Espacio generado por todas las soluciones x de A^* x=0. A este espacio se conoce como left Nullspace N(A^*).

Ejercicio Opcional: Sea P_3 el espacio vectorial de los polinomios reales de grado a lo más 3, equipado con su base canónica B:=\{1,t,t^2,t^3\}.

Sea D: P_3 \to P_3 el operador diferencial definido por:

D(p(t)):=p'(t)\equiv\dfrac{d}{dt}p(t),\qquad p(t)\in\mathcal{P}_3\,.

Encuentre la matriz del operador D.

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