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Clase 4: Vectores ortogonales y matrices

Bibliografía de la Clase:

  • Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 1: Lecture 2 Orthogonal Vectors and Matrices
  • Introduction to Linear Algebra. Gilbert Strang. Chapter 4 Orthogonality
  • Guía profesor Luis Salinas

Conceptos previos

Matrices hermitianas

Matriz Conjugada o Adjunta

Se llama matriz conjugada o adjunta de una matriz A \in Mat(m,n) a la matriz A^* \in Mat(n,m) definida como A^*_{ij}=\bar{A_{ji}}. Si A es una matriz de coeficientes reales, A^*=A^T donde A^T es la matriz traspuesta de A.

Donde \bar{z} es el complejo conjugado de un escalar z. Si z = a + bi, entonces \bar{z}= a-bi.

Matriz hermitiana

Se dice que A es hermitiana si A=A^*. Si A es real y A=A^T se dice también que A es una matriz simétrica.

Por ejemplo,

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix} \Rightarrow A^*= \begin{bmatrix} \bar{a_{11}} & \bar{a_{21}} & \bar{a_{31}} \\ \bar{a_{12}} & \bar{a_{22}} & \bar{a_{32}} \end{bmatrix}

Dos propiedades importantes de las matrices son:

(AB)^* = B^* A ^*

Por otro lado,

(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}

Producto Interno

Producto Interno

El producto interno es la generalización del producto punto (definido para coeficientes reales). Sean dos vectores x,y \in \mathbb{C}^m su producto interno se define como: x*y=\sum_{i=1}^m \bar{x_i} y_i.

La norma euclideana del vector x puede ser definida en términos del producto interno como:

\|x\| = \sqrt{x*x} = \left(\sum_{i=1}^m |x_i| ^2 \right)^{\frac{1}{2}}

De manera equivalente, el producto interno se define en términos del ángulo que forman los vectores:

Angulo entre dos vectores

En la figura puede verse que el ángulo entre los vectores \theta = \alpha - \beta. Por lo tanto se tiene:

\begin{array}{rl} cos(\theta) &= cos(\alpha - \beta) \\ &= cos(\alpha) cos(\beta) + sin(\alpha) sin(\beta) \\ &= \frac{x_1}{\|x\|} \frac{y_1}{\|y\|} + \frac{x_2}{\|x\|} \frac{y_2}{\|y\|}\\ &= \frac{x_1 y_1 + x_2 y_2}{\|x\| \|y\|} \\ &= \frac{x*y}{\|x\| \|y\|} \end{array}

Proyecciones entre vectores

El producto interno sirve también para representar la proyección (o sombra) de un vector sobre otro. En la siguiente imagen se muestra la proyección del vector x sobre y.

Proyección de vectores

Puede verse que la proyección o sombra del vector x sobre y denotado como x_y corresponde a:

x_y=\|x\| cos(\theta) x_y= \|x\| \frac{x*y}{\|x\| \|y\|} = \frac{x*y}{\|y\|}

Asi mismo puede definirse la proyección de y sobre x como y_x:

y_x=\frac{y*x}{\|x\|}

Vectores ortogonales

Definición

Dos vectores x,y son ortogonales si x*y=0. Es decir, si no se proyectan uno en el otro.

Se dice que un conjunto de vectores en S es ortogonal si \forall x,y \in S, x \neq y \Rightarrow x*y=0. Este conjunto S se dirá además ortonormal si es ortogonal y además \forall x \in S \quad \|x\| = 1.

Componentes de un vector

Se tiene un conjunto de vectores ortonormales {q_1,q_2,\ldots,q_n} y v un vector arbitrario. Ya sabemos que la proyección de v en el vector q_j \quad \forall j=1..n \quad es la siguiente:

v_{q_j} = \frac{v*q_j}{\|q_j\|} = v*q_j = q_j*v

Entonces v puede expresarse como:

v = r + (q_1^* v) q_1 + (q_2^* v) q_2 + \ldots + (q_n^* v)q_n

Que corresponde al vector descompuesto en n+1 componentes ortogonales:

v = r + \sum_{i=1}^n (q_i^*v)q_i = r + \sum_{i=1}^n q_i(q_i^*v) = r + \sum_{i=1}^n (q_i q_i^*)*v

Matrices Unitarias

Definición

Una matriz cuadrada Q \in \mathbb{C}^{m \times m} es unitaria (si es real decimos ortogonal) si Q^*=Q^{-1}, i.e si Q^{*}Q=I.

\begin{bmatrix} \quad & q_1^* & \quad \\ \hline \quad & q_2^* & \quad \\ \hline \quad & \vdots & \quad \\ \hline \quad & q_m^* & \quad \\ \end{bmatrix} \left[ \begin{array}{c|c|c|c} \, & \, & \, & \, \\ q_1 & q_2 & \cdots & q_m \\ \, & \, & \, & \, \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 1 & \, & \, & \, \\ \, & 1 & \, & \, \\ \, & \, & \ddots & \, \\ \, & \, & \, & 1 \end{bmatrix}

Ejercicio Opcional

Dada la matriz A = [I \quad I] escribir cualquier vector x como una combinación de las bases del espacio de filas y del espacio nulo.

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