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Clase 5: Normas

Bibliografía de la Clase:

  • Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 1: Lecture 3 Norms.
  • Introduction to Linear Algebra. Fourth Edition. Gilbert Strang. Chapter 1 Introduction to Vectors. Section 1.2 Lengths and Dot Products.
  • Guía profesor Luis Salinas, Sec. 11: Normas de Vectores y Matrices.

Normas de Vectores

Consideremos el espacio vectorial \mathbb{C}^{m}, \ x \in \mathbb{C}^{m}. La norma de vectores es la función función:

|| \cdot ||:\mathbb{C}^{m} \rightarrow \mathbb{R}

que asigna un valor real a cada vector x, y ese valor, corresponde a la longitud del vector.

Una norma, ||\cdot ||, debe cumplir las siguientes propiedades:

\forall x, y \in \mathbb{C}^{m} \ \ \forall \alpha \in \mathbb{C}: ||x|| \geq 0, \text{ y } ||x||= 0 \text{ si y solo si } x=0 ||x + y || \leq ||x|| + ||y|| ||\alpha x|| = | \alpha | ||x||

P-Normas de Vectores

Continuamos en el espacio vectorial \mathbb{C}^{m}. Para x=[x_{1}, \ldots , x_{m}] \in \mathbb{C}^{m} y 1 \leq p \in \mathbb{R} \cup \{\infty\} se define:

||x||_p := \begin{cases} \left( \sum\limits_{k=1}^m |x_k|^p \right)^{1/p}\,, & \text{si}\ 1\leq p<\infty\,, \\ \max\limits_{1\leq k\leq m} |x_k|\,, & \text{si}\ p=\infty\,. \end{cases}

La esfera unitaria cerrada: \{x \in \mathbb{C}^{m}: ||x|| \leq 1\} asociada a la p-norma, para p=1,2,\infty se muestra a continuación [p-norms]:

P-norms

||x||_1 = \sum\limits_{k=1}^m |x_k| ||x||_2 = \left( \sum\limits_{k=1}^m |x_k|^{2} \right)^{1/2} = \sqrt{x^{*} x} \vspace{0.8cm} ||x||_\infty \max\limits_{1\leq k\leq m} |x_k|

Normas de Matrices inducidas por Normas de Vectores (Norma Natural)

Una matriz de m\times n puede ser vista como un vector de dimension mn, y cada una de la m n entradas de la matrix sería vista como una coordenada independiente. Por lo tanto, cada una de las normas vistas anteriormente podrían ser usadas para “medir el tamaño” de la matriz.

Pero cuando se trabaja con espacios de matrices, mejor usar normas asociadas a las matrices, y así aparecen las normas de matrices inducidas , o también denominadas normas naturales.

Norma Inducida o Norma Natural

(Notación del libro de Trefethen)

Sea A \in Mat(m\times n, \mathbb{C}), y ||\cdot ||_{(n)} y ||\cdot ||_{(m)}, normas de vectores en \mathbb{C}^{n} y \mathbb{C}^{m}, respectivamente, la norma inducida o norma natural, ||A||_{(m,n)}, es el menor número C que satisface la siguiente desigualdad para todo x \in \mathbb{C}^{n}:

||Ax||_{(m)} \leq C ||x||_{(n)}

En otras palabras, ||A||_{(m,n)} es el supremum de la proporción

\frac{||Ax||_{(m)}}{||x||_{(n)}} \text{, sobre todos los vectores } x \in \mathbb{C}^{n}

lo que implica que es el máximo factor en que la matriz A puede "estirar" cualquier vector x.

Se dice que ||\cdot||_{(m,n)} es la norma matricial inducida por las normas (de vectores) ||\cdot ||_{(n)} y ||\cdot ||_{(m)}.

Ejemplo 1

Considerar:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 &2 \end{bmatrix}, \text{ que realiza la transformación de } \mathbb{C}^{2} (\mathbb{R}^{2}) \text{ a } \mathbb{C}^{2} (\mathbb{R}^{2}),

y los vectores x_1=\begin{bmatrix}2 \\ 5 \end{bmatrix} y x_2=\begin{bmatrix} 3 \\ 1\end{bmatrix}, ambos en \mathbb{R}^{2}.

  • Analizar posbiles valores de C considerando la p-norma, p=1.

Norma natural (version 2)

Debido a que el factor de estiramiento es independiente del tamaño de los vectores que se están estirando, es conveniente (y equivalente) definir la norma inducida en términos de vectores unitarios (norma igual a 1):

||A||_{(m,n)} = \sup \limits_{0 \neq x \in C^n} \dfrac{ ||Ax||_{(m)}}{ ||x||_{(n)}} = \max \limits_{||x||_{(n)=1}} ||Ax||_{(m)}

Ejemplo 2

Consideremos nuevamente:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 &2 \end{bmatrix}, \text{ que realiza la transformación de } \mathbb{C}^{2} (\mathbb{R}^{2}) \text{ a } \mathbb{C}^{2} (\mathbb{R}^{2}),

  1. ¿Que acción hace A en los vectores e_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} y e_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}?
  2. Graficar la transformación de la matriz A, aplicada a las esferas unitarias de 1-norma, 2-norma e \infty-norma.

1-Norma de una Matriz

Si A \in Mat(m\times n), ||A||_1 es el “máximo de las sumas de las columnas” de A. Si se consideran los vectores columans, a_j de la matriz A, los cuales son vectores m-dimensionales.

La esfera unitaria de 1-norma, corresponde a {x \in \mathbb{C}^{m}: \sum \limits_{j=1}^{n} |x_j| \leq 1}.

Cualquier vector Ax satisface:

||Ax||_1 = || \sum \limits_{j=1}^{n} x_j a_j ||_1 = ||x_1 a_1 + \ldots + x_n a_n|| \ \ \text{(Desig. triang.)} \leq ||x_1 a_1||_1 + \ldots ||x_n a_n ||_1 \ \ \text{(Mult. escalar)} = |x_1|_1 ||a_1 ||_1 \ldots |x_n |_1 ||a_n ||_1 = \sum \limits_{j=1}^{n} |x_j| ||a_j||_1 \leq \max \limits_{1\leq j \leq n} ||a_j||_1 \ \ \text{(Recordar } { x \in \mathbb{C}^{m}: \sum \limits_{j=1}^{n} |x_j| \leq 1})

\infty-norma de una Matriz

Utilizando el mismo argumento anterior, se puede demostrar que la \infty-norma de una matriz de m \times n es igual a “el máximo de la suma de las filas”:

||A||_\infty = \max \limits_{1\leq m}||a_{i}^{*}||_1

donde a_{i}^{*} corresponde a la i-ésima fila de A.

Norma de Frobenius

La norma de Frobenius o norma l_2 de la matriz A considerada como un vector en \mathbb{C}^{mn}:

||A||_F \equiv ||A||_{l_2} = \left( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|^2 \right)^{1/2} = \left(\sum_{j=1}^n ||A^j||_2^2 \right)^{1/2} = \left(trace(A^* A) \right)^{1/2} \text{donde } trace(A) = a_{11} + \ldots + a_{nn}, A \in Mat(n\times n)

También se le conoce como norma de Schur o norma de Hilbert-Schmidt.

[p-norms]Imagen obtenida de Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Vector_norms2.svg

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