Clase 6: Más sobre Normas¶

Bibliografía de la Clase:¶

Numerical Linear Algebra.L.N. Trefethen. Chapter 1: Lecture 3 Norms.
Introduction to Linear Algebra. Fourth Edition. Gilbert Strang. Chapter 1 Introduction to Vectors. Section 1.2 Lengths and Dot Products.
Guía profesor Luis Salinas, Sec. 11: Normas de Vectores y Matrices.

Desigualdad de Cauchy-Scwarz y Hölder¶

Calcular p-normas, con $p\neq 1, \infty$ resulta más complicado, y para abordar este problema se puede usar la propiedad de que los productos internos pueden ser acotados usando p-normas.

Sea $p$ y $q$ , tal que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$ , con $1\leq p, q \leq \infty$ . La desigualdad de Hölder establece que para todo $x$ e $y$ :

$| x^{*}y | \leq ||x||_{p} \ ||y||_{q}$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es el caso especial para $p=q=2$

$| x^{*}y | \leq ||x||_{2} \ ||y||_{2}$

Demostración para $p=1$ y $q=\infty$ ¶

$\text{ Sean }x,y \in \mathbb{C}^{m}. \text{ Para }p=1 \text { y } q=\infty: \sum \limits_{k=1}^{m} | x_k y_k| \leq \sum \limits_{k=1}^{m} | x_k| | y_k| \leq \sum \limits_{k=1}^{m} | x_k| \max \limits_{1 \leq s \leq m} | y_k| = ||x||_1 \ ||y||_\infty$

La demostración general para $1 < p,q < \infty$ se encuentra en la guía de ejercicios del Prof. Luis Salinas.

Ejemplo: La 2-norma de un vector fila¶

Considerar la matriz $A$ que contiene solo una fila. La matriz puede escribirse como $A=a^*$ , siendo $a$ un vector columna.

La Desigualdad de Cauchy-Schwarz permite obtener la norma inducida de una matriz, para $p=2$ .

$\text{ Para un } x \in \mathbb{C}^m: || Ax ||_2 = ||a^{*} x|| = ||a_1 x_1 + \ldots + a_m x_m || = | a_1 x_1 + \ldots + a_m x_m | = | a^* x| \leq || a ||_2 \ || x ||_2 \text{ Notar que } ||A a||_2 = ||a||_2^2. \text{ Luego se tiene: } ||A||_2 = \sup \limits_{x\neq 0} \frac{||Ax||}{||x||_2} = \frac{||a||_2 \ ||x||_2}{||x||_2}= ||a||_2$

Propiedades de Normas matriciales¶

En la clase anterior se definieron las propiedades de una norma vectorial. Las nnormas matriciales, deben satisfacer las tres propiedades de una norma vectorial, y ademas una cuarta propiedad:

$||A || \geq 0, \text{ y } ||A|| = 0 \text{ si y solo si } A=0, ||A+B|| \leq ||A|| + ||B|| ||\lambda A || = | \lambda | ||A||, \forall \lambda \in \mathbb{C} ||AB|| \leq ||A|| \ ||B||$

Nuevamente Norma de Frobenius¶

La norma de Frobenius puede ser usada para acotar el producto de matrices.

$\text{ Sea } C_{(n\times m)}=A_{(n\times l)}B_{(l \times m)} c_{ij}= a_i^* b_j \text{ (Multiplicación de matrices, enfoque prod. punto)} | c_{ij} | = | a_i^* b_j| \leq ||a||_2 \ ||b||_2 \text{ luego se tiene:} ||AB||_F^2= \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} | c_{ij}| = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} | a_{i}^{*} b_{j}| \leq \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{m} ( ||a_i||_2 ||b_j||_2 )^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} ( ||a_i||_2 )^2 \sum \limits_{j=1}^{m} (||b_j||_2 )^2 = ||A||_F^2 ||B||_F^2$

Ejercicios Propuestos:¶

Sea $I_{(n\times n )}$ la matriz identidad, calcule la norma de $||I||_F$ (norma de Frobenius) e $||I||$ (norma inducida considerando la p-norma, con $p=2$ , en $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ ). Hint: Las normas son distintas.
Sea $Q_{(m\times m)}$ una matriz unitaria. Demostrar que $||Qx||$ preserva la norma del vector $x \in \mathbb{R}^{m}$ , es decir, la transformación que aplica $Q$ al vector $x$ , no modifica su tamaño.